Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và dây cung  \(AB\) không đi qua \(O\).  Từ điểm \(M\) nằm trên tia đối của tia \(BA\)

 (\(M\) không trùng với \(B\)), kẻ hai tiếp tuyến \(MC,MD\) với đường tròn \(\left( {O;R} \right)\)(\(C;D\) là các tiếp điểm). Gọi \(H\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\). Đoạn thẳng \(OM\) cắt đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) tại điểm \(I\).

Đường thẳng qua $O$ vuông góc với \(OM\) cắt các tia \(MC;MD\) lần lượt tại \(E;F\). Xác định hình dạng của tứ giác \(MCOD\) để diện tích tam giác \(MEF\) nhỏ nhất khi \(M\) di động trên tia đối của tia \(BA.\)

Ta nhận thấy \({S_{MFE}} = 2{S_{MEO}}\) (do có chung đường cao\(MO\)và \(OE = \dfrac{1}{2}FE\))

\( \Rightarrow {S_{MFE}}\max  \Leftrightarrow {S_{MEO}}\max \)

Xét \(\Delta MEO\) có: \({S_{MEO}} = \dfrac{1}{2}CO.ME = \dfrac{1}{2}R.\left( {CE + CM} \right)\)

Mà có: \(CM = \dfrac{{CO}}{{\tan \left( {\angle CMO} \right)}} = \dfrac{R}{{\tan \left( {\angle CMO} \right)}};CE = \dfrac{{CO}}{{\tan \left( {\angle CEO} \right)}} = \dfrac{R}{{\tan \left( {{{90}^o} - \angle CMO} \right)}} = \dfrac{R}{{\cot \left( {\angle CMO} \right)}}\)\(\)

\( \Rightarrow {S_{MEO}} = \dfrac{1}{2}{R^2}\left( {\dfrac{1}{{\tan \left( {\angle CMO} \right)}} + \dfrac{1}{{\cot \left( {\angle CMO} \right)}}} \right) = \dfrac{1}{2}{R^2}\left( {\dfrac{1}{{\tan \left( {\angle CMO} \right)}} + \tan \left( {\angle CMO} \right)} \right)\)

Mà có \(\angle CMO\) nhọn (do \(\Delta COM\) vuông tại \(C\)) \( \Rightarrow \tan \left( {\angle CMO} \right) > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có :\(\dfrac{1}{{\tan \left( {\angle CMO} \right)}} + \tan \left( {\angle CMO} \right) \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{\tan \left( {\angle CMO} \right)}}.\tan \left( {\angle CMO} \right)}  = 2\)

\( \Rightarrow {S_{MFE}} = 2{S_{MEO}} = 2.\dfrac{1}{2}{R^2}\left( {\dfrac{1}{{\tan \left( {\angle CMO} \right)}} + \tan \left( {\angle CMO} \right)} \right) \ge 2{R^2}\)\(\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{{\tan \left( {\angle CMO} \right)}} = \tan \left( {\angle CMO} \right) \Leftrightarrow \tan \left( {\angle CMO} \right) = 1 \Leftrightarrow \angle CMO = {45^o}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CO = CM\\\angle CMD = {90^o}\end{array} \right. \Rightarrow MCOD\) là hình vuông (do có 3 góc vuông và hai cạnh kề nhau bằng nhau).