Câu hỏi:
2 năm trước
Cho dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ xác định bởi ${x_1} = \dfrac{2}{3}$ và ${x_{n + 1}} = \dfrac{{{x_n}}}{{2\left( {2n + 1} \right){x_n} + 1}},\forall n \in \mathbb{N}*$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có ${x_n} > 0,\forall n \ge 1$ và $\dfrac{1}{{{x_{n + 1}}}} = 2(2n + 1) + \dfrac{1}{{{x_n}}},\forall n \ge 1.$
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{x_{n + 1}}}} - \dfrac{1}{{{x_n}}} = 4n + 2\)
Ta có:
+) \(\dfrac{1}{{{x_2}}} - \dfrac{1}{{{x_1}}} = 4.1 + 2\)
+) \(\dfrac{1}{{{x_3}}} - \dfrac{1}{{{x_2}}} = 4.2 + 2\)
…
+) \(\dfrac{1}{{{x_n}}} - \dfrac{1}{{{x_{n - 1}}}} = 4.\left( {n - 1} \right) + 2\)
Cộng vế với vế các đẳng thức trên được $\dfrac{1}{{{x_n}}} = \dfrac{1}{{{x_1}}} + 4(1 + 2 + ... + n - 1) + 2(n - 1)$$ = \dfrac{3}{2} + 2n(n - 1) + 2(n - 1) = \dfrac{{4{n^2} - 1}}{2}.$
Suy ra ${x_n} = \dfrac{2}{{4{n^2} - 1}}.$ Do đó ${x_{100}} = \dfrac{2}{{39999}}.$
Hướng dẫn giải:
- Tính \(\dfrac{1}{{{x_{n + 1}}}}\) theo \(n\) và \({x_n}\).
- Tính số hạng tổng quát và suy ra \({x_{100}}\).
