Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right),$ được xác định $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 2\\{u_{n + 1}} =  - 2 - \dfrac{1}{{{u_n}}}\end{array} \right..$ Số hạng tổng quát ${u_n}$ của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Giải thích thêm:

Cách giải tự luận:

Ta có:

${u_{n + 1}} =  - 2 - \dfrac{1}{{{u_n}}}$

$\begin{array}{l}
\Rightarrow{u_{n + 1}} + 1 = - 1 - \frac{1}{{{u_n}}}\\
\Rightarrow {u_{n + 1}} + 1 = \frac{{ - {u_n} - 1}}{{{u_n}}}\\
\Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = - \frac{{{u_n}}}{{{u_n} + 1}}\\
\Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = - \frac{{{u_n} + 1 - 1}}{{{u_n} + 1}}\\
\Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = - 1 + \frac{1}{{{u_n} + 1}}\\
\Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} - \frac{1}{{{u_n} + 1}} = - 1
\end{array}$

Đặt \({v_n} = {u_n} + 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{v_{n + 1}}}} - \frac{1}{{{v_n}}} =  - 1\\\frac{1}{{{v_n}}} - \frac{1}{{{v_{n - 1}}}} =  - 1\\...\\\frac{1}{{{v_3}}} - \frac{1}{{{v_2}}} =  - 1\\\frac{1}{{{v_2}}} - \frac{1}{{{v_1}}} =  - 1\\ \Rightarrow \left( {\frac{1}{{{v_{n + 1}}}} - \frac{1}{{{v_n}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{v_n}}} - \frac{1}{{{v_{n - 1}}}}} \right) + ...\\ + \left( {\frac{1}{{{v_3}}} - \frac{1}{{{v_2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{v_2}}} - \frac{1}{{{v_1}}}} \right) = n.\left( { - 1} \right)\\ \Rightarrow \frac{1}{{{v_{n + 1}}}} - \frac{1}{{{v_1}}} =  - n\end{array}\)

 Mà \({u_1} = {v_1} - 1 \Rightarrow {v_1} = {u_1} + 1 =  - 2 + 1 =  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{{v_{n + 1}}}} - \frac{1}{{ - 1}} =  - n \Leftrightarrow \frac{1}{{{v_{n + 1}}}} =  - n - 1\\ \Rightarrow {v_{n + 1}} = \frac{1}{{ - n - 1}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} + 1 = \frac{1}{{ - n - 1}}\\ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = \frac{1}{{ - n - 1}} - 1 = \frac{{1 + \left( {n + 1} \right)}}{{ - \left( {n + 1} \right)}}\\ \Rightarrow {u_n} =  - \frac{{1 + n}}{n}\end{array}\)