Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right),$ được xác định $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + {n^2}\end{array} \right..$ Số hạng tổng quát ${u_n}$ của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Giải thích thêm:

Tự luận:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_2} = {u_1} + {1^2}\\{u_3} = {u_2} + {2^2}\\{u_4} = {u_3} + {3^2}\\...\\{u_n} = {u_{n - 1}} + {\left( {n - 1} \right)^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\) \( = 1 + \left( {{u_1} + 1} \right) + \left( {{u_2} + {2^2}} \right) + ... + \left( {{u_{n - 1}} + {{\left( {n - 1} \right)}^2}} \right)\)

\( = 1 + \left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}}} \right)\)\( + \left[ {{1^2} + {2^2} + ... + {{\left( {n - 1} \right)}^2}} \right]\)

\( \Rightarrow {u_n} = 1 + \left( {{1^2} + {2^2} + ... + {{\left( {n - 1} \right)}^2}} \right)\)

Mà \({1^2} + {2^2} + .. + {\left( {n - 1} \right)^2}\) \( = \dfrac{{\left( {n - 1} \right).n.\left[ {2\left( {n - 1} \right) + 1} \right]}}{6}\) \( = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {2n - 1} \right)}}{6}\)

Nên \({u_n} = 1 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {2n - 1} \right)}}{6}\).

Chọn B.