Cho dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ xác định bởi ${a_1} = 1,{a_2} = 2$ và ${a_{n + 2}} = \sqrt 3 .{a_{n + 1}} - {a_n},\forall n \ge 1$. Tìm số nguyên dương $p$ nhỏ nhất sao cho ${a_{n + p}} = {a_n},\forall n \in \mathbb{N}*$.

Ta có:

$\begin{array}{l}
{a_1} = 1\\
{a_2} = 2\\
{a_3} = \sqrt 3 {a_2} - {a_1} = 2\sqrt 3 - 1\\
{a_4} = \sqrt 3 {a_3} - {a_2} = \sqrt 3 \left( {2\sqrt 3 - 1} \right) - 2\\
= 6 - \sqrt 3 - 2 = 4 - \sqrt 3 \\
{a_5} = \sqrt 3 {a_4} - {a_3} = \sqrt 3 \left( {4 - \sqrt 3 } \right) - \left( {2\sqrt 3 - 1} \right)\\
= 4\sqrt 3 - 3 - 2\sqrt 3 + 1 = 2\sqrt 3 - 2\\
{a_6} = \sqrt 3 {a_5} - {a_4} = \sqrt 3 \left( {2\sqrt 3 - 2} \right) - \left( {4 - \sqrt 3 } \right)\\
= 2.3 - 2\sqrt 3 - 4 + \sqrt 3 = 2 - \sqrt 3 \\
{a_7} = \sqrt 3 {a_6} - {a_5} = \sqrt 3 \left( {2 - \sqrt 3 } \right) - \left( {2\sqrt 3 - 2} \right)\\
= 2\sqrt 3 - 3 - 2\sqrt 3 + 2 = - 1\\
{a_8} = \sqrt 3 {a_7} - {a_6} = \sqrt 3 .\left( { - 1} \right) - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\\
= - \sqrt 3 - 2 + \sqrt 3 = - 2\\
{a_9} = \sqrt 3 {a_8} - {a_7} = \sqrt 3 \left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right)\\
= - 2\sqrt 3 + 1\\
{a_{10}} = \sqrt 3 {a_9} - {a_8} = \sqrt 3 \left( { - 2\sqrt 3 + 1} \right) - \left( { - 2} \right)\\
= - 2.3 + \sqrt 3 + 2 = - 4 + \sqrt 3 \\
{a_{11}} = \sqrt 3 {a_{10}} - {a_9} = \sqrt 3 \left( { - 4 + \sqrt 3 } \right) - \left( { - 2\sqrt 3 + 1} \right)\\
= - 4\sqrt 3 + 3 + 2\sqrt 3 - 1 = - 2\sqrt 3 + 2\\
{a_{12}} = \sqrt 3 {a_{11}} - {a_{10}} = \sqrt 3 \left( { - 2\sqrt 3 + 2} \right) - \left( { - 4 + \sqrt 3 } \right)\\
= - 2.3 + 2\sqrt 3 + 4 - \sqrt 3 = - 2 + \sqrt 3 \\
{a_{13}} = \sqrt 3 {a_{12}} - {a_{11}} = \sqrt 3 \left( { - 2 + \sqrt 3 } \right) - \left( { - 2\sqrt 3 + 2} \right)\\
= - 2\sqrt 3 + 3 + 2\sqrt 3 - 2 = 1\\
{a_{14}} = \sqrt 3 {a_{13}} - {a_{12}} = \sqrt 3 .1 - \left( { - 2 + \sqrt 3 } \right)\\
= \sqrt 3 + 2 - \sqrt 3 = 2\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a_{13}} = {a_1}\\
{a_{14}} = {a_2}
\end{array} \right.
\end{array}$

Từ đây ta dự đoán được ${a_{n + 12}} = {a_n},\forall n \ge 1.$

Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được ${a_{n + 12}} = {a_n},\forall n \ge 1.$

Vậy số nguyên dương cần tìm là $p = 12.$