Cho \(a,b,c > 0\) thỏa mãn: \(6a + 2b + 3c = 11.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = \dfrac{{2b + 3c + 16}}{{1 + 6a}} + \dfrac{{6a + 3c + 16}}{{1 + 2b}} + \dfrac{{6a + 2b + 16}}{{1 + 3c}}\).

Đặt \(x = 1 + 6a; y = 1 + 2b; z = 1 + 3c\,\,\left( {x,y,z > 0} \right)\)

\( \Rightarrow x + y + z = 1 + 6a + 1 + 2b + 1 + 3c\)\( = 3 + \left( {6a + 2b + 3c} \right) = 3 + 11 = 14\)

Ta có: \(2b + 3c + 16 = y - 1 + z - 1 + 16 = y + z + 14\)

\(6a + 3c + 16 = x + z + 14\)

\(6a + 2b + 16 = x + y + 14\)

Từ đó: \(M = \dfrac{{z + y + 14}}{x} + \dfrac{{x + z + 14}}{y} + \dfrac{{x + y + 14}}{z}\)

\( = \dfrac{z}{x} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{{14}}{x} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{{14}}{y} + \dfrac{x}{z} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{{14}}{z}\)

\( = \left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) + \left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right) + 14\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\)

\( = \left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) + \left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right) + \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\)

\( = 2\left( {\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}} \right) + 2\left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) + 2\left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right) + 3\)

Mặt khác: \(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2\) dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y\)

\(\dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x} \ge 2.\) Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi \(x = z\)

\(\dfrac{z}{y} + \dfrac{y}{z} \ge 2.\) Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi \(z = y\)

Khi đó: \(M \ge 2. 2 + 2. 2 + 2. 2 + 3 \Rightarrow M \ge 15.\) Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = 1\)

Suy ra: \(a = \dfrac{{11}}{{18}};b = \dfrac{{11}}{6};c = \dfrac{{11}}{9}.\)

Vậy \({M_{min}} = 15\) khi \(a = \dfrac{{11}}{{18}};b = \dfrac{{11}}{6};c = \dfrac{{11}}{9}.\)