Trên các đoạn thẳng BD và CE lấy lần lượt hai điểm I và K sao cho \(\widehat {{\rm{AIC}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{AKB }}}{\rm{ = 9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}.\) Khi đó tam giác \(AIK\) là:

Xét \(\Delta AID\) và \(\Delta ACI\) có: \(\widehat {IAD}\) chung và \(\widehat {AIC} = \widehat {ADB} = {90^0}\) nên \(\Delta AID \backsim \Delta ACI\left( {g - g} \right)\)

Suy ra: \(\dfrac{{AI}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AI}} \Leftrightarrow A{I^2} = AC.AD\)  (1)

Xét \(\Delta AEK\) và \(\Delta AKB\) có: \(\widehat {EAK}\) chung và \(\widehat {AIC} = \widehat {ADB} = {90^0}\) nên \(\Delta AEK \backsim \Delta AKB\left( {g - g} \right)\)

Suy ra: \(\dfrac{{AE}}{{AK}} = \dfrac{{AK}}{{AB}} \Leftrightarrow A{K^2} = AE.AB\) (2)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

\(\widehat {\rm{A}}\) là góc chung, \(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta ABD \backsim \Delta ACE\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AE}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\) \( \Rightarrow AE.{\rm{ }}AB = AC.{\rm{ }}AD\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(A{I^2} = A{K^2} \Rightarrow AI = AK\) nên tam giác \(AIK\) cân tại \(A.\)