Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {\left( {1 - 2i} \right)z + 4 + i} \right| = 1\) là đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\). Tính \(a + b\).

Điền số nguyên hoặc phân số dạng a/b

Đáp án:

Ta có \(\left| {\left( {1 - 2i} \right)z + 4 + i} \right| = 1\)  (1)

Đặt \(z = x + yi,\,\,x,y \in \mathbb{R}\).

Phương trình (1) tương đương với: \(\left| {\left( {1 - 2i} \right)\left( {x + yi} \right) + 4 + i} \right| = 1\)

\( \Leftrightarrow \left| {x + yi - 2xi + 2y + 4 + i} \right| = 1\)

\( \Leftrightarrow \left| {x + 2y + 4 + \left( {y - 2x + 1} \right)i} \right| = 1\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 2y + 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 2x + 1} \right)}^2}}  = 1\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + 2y} \right)^2} + 8\left( {x + 2y} \right) + 16 + {\left( {y - 2x} \right)^2} + 2\left( {y - 2x} \right) + 1 = 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4xy + 4{y^2} + 8x + 16y + 16 + {y^2} - 4xy + 4{x^2} + 2y - 4x = 0\)

\( \Leftrightarrow 5{x^2} + 5{y^2} + 4x + 18y + 16 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \dfrac{4}{5}x + \dfrac{{18}}{5}y + \dfrac{{16}}{5} = 0\).

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(I\left( { - \dfrac{2}{5}; - \dfrac{9}{5}} \right)\).

Tức là, \(a =  - \dfrac{2}{5},\,\,b =  - \dfrac{9}{5}\).

\( \Rightarrow a + b =  - \dfrac{2}{5} - \dfrac{9}{5} =  - \dfrac{{11}}{5}\).

Vậy \(a + b =  - \dfrac{{11}}{5}\).