Câu hỏi:
2 năm trước
Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = mx + \dfrac{{36}}{{x + 1}}$ trên ${\rm{ }}[{\rm{ }}0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3{\rm{ }}]{\rm{ }}$ bằng $20.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có $y' = m - \dfrac{{36}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};\;{\mkern 1mu} \forall x \in \left[ {0;3} \right]$ và $y\left( 0 \right) = 36;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \;y\left( 3 \right) = 3m + 9.$
TH1: Hàm số nghịch biến trên đoạn $\left[ {0;3} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{m \le \dfrac{9}{4}}\\{\rm{\;}}&{\min y = 3m + 9 = 20}\end{array}} \right.\;$ (vô nghiệm).
TH2: Phương trình $y' = m - \dfrac{{36}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1 + \dfrac{6}{{\sqrt m }}$ với \(m > 0\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $20{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y\left( { - 1 + \dfrac{6}{{\sqrt m }}} \right) = 20$
$ \Leftrightarrow m\left( { - 1 + \dfrac{6}{{\sqrt m }}} \right) + \dfrac{{36}}{{ - {\mkern 1mu} 1 + \dfrac{6}{{\sqrt m }} + 1}} = 20 \Leftrightarrow - {\mkern 1mu} m + 6\sqrt m + 6\sqrt m = 20 \Leftrightarrow - {\mkern 1mu} m + 12\sqrt m = 20 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{m = 4}\\{\rm{\;}}&{m = 100}\end{array}} \right..$
Với $m = 100$ loại vì $ - {\mkern 1mu} 1 + \dfrac{6}{{\sqrt {100} }} = - \dfrac{2}{5} \notin \left[ {0;3} \right].$
Vậy $m = 4 \in \left( {2;4} \right].$
Hướng dẫn giải:
Biện luận các trường hợp để tìm min theo tham số \(m\) và thay điều kiện đề bài vào ta tìm \(m\).
Câu hỏi khác
- Bài tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị có tham số đối với các hàm số cơ bản môn Toán lớp 12
- Bài tập đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ toán 12 có lời giải
