Câu hỏi:
2 năm trước
Với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}ac\left( {{b^2} - 4ac} \right) > 0\\ab < 0\end{array} \right.\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) và đường thẳng $y = 0.$
Ta có: \(y' = 4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2a{x^2} + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = - \dfrac{b}{{2a}}\end{array} \right.\)
Ta có \(ab < 0 \Rightarrow \) a, b trái dấu \( \Rightarrow - \dfrac{b}{{2a}} > 0 \Rightarrow \) phương trình $y' = 0$ có $3$ nghiệm phân biệt hay đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị.
+ Với \(x = 0 \Rightarrow y = c \Rightarrow A\left( {0;c} \right)\)
+ Với \({x^2} = - \dfrac{b}{{2a}} \Rightarrow x = \pm \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} \) \( \Rightarrow y = \dfrac{{ - a\left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}}\)
\( \Rightarrow B\left( { - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;\dfrac{{ - a\left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}}} \right),C\left( {\sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;\dfrac{{ - a\left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}}} \right)\)
Ta có \(ac\left( {{b^2} - 4ac} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ - a\left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}}.c < 0\) \( \Rightarrow {y_B}.{y_A} < 0\)
\( \Rightarrow \) Các điểm cực đại và cực tiểu nằm khác phía so với trục hoành
\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) cắt trục hoành tại \(4\) điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải:
+) Tính \(y'\) suy ra số điểm cực trị của hàm số.
+) Xét vị trí các điểm cực trị của đồ thị hàm số so với trục hoành và suy ra số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.
Câu hỏi khác
- Bài tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị có tham số đối với các hàm số cơ bản môn Toán lớp 12
- Bài tập đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ toán 12 có lời giải
