Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{9}{5} - t\\y = 5t\\z = \dfrac{7}{5} + 3t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 3z - 1 = 0\).
Gọi \(d'\) là hình chiếu của \(d\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Trong các vectơ sau, vectơ nào không phải là vectơ chỉ phương của \(d'\)?
Trả lời bởi giáo viên
Đường thẳng \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1;5;3} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;3} \right)\).
Gọi mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(d\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Suy ra VTPT của \(\left( Q \right)\) là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {21;12; - 13} \right)\).
Vì \(d'\) là hình chiếu của \(d\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(d' = \left( Q \right) \cap \left( P \right)\).
Do đó \(d'\) có VTCP là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {10; - 102; - 78} \right) = 2\left( {5; - 51; - 39} \right) = - 2\left( { - 5;51;39} \right)\).
Hướng dẫn giải:
- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(d\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
- Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).