Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số lẻ và liên tục trên \(\left[ { - a;a} \right]\). Chọn kết luận đúng:
Trả lời bởi giáo viên
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số lẻ nếu \(f\left( x \right) = - f\left( { - x} \right)\).
Đặt \(x = - t \Rightarrow dx = - dt\).
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = - a\\x = - a \Rightarrow t = a\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^{ - a} {f\left( { - t} \right)\left( { - dt} \right)} = \int\limits_{ - a}^a {\left( { - f\left( t \right)} \right)dt} = - \int\limits_{ - a}^a {f\left( t \right)dt} = - \int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx} \).
Do đó \(\int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx} \Leftrightarrow 2\int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx} = 0\)
Hướng dẫn giải:
- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số lẻ nếu \(f\left( x \right) = - f\left( { - x} \right)\).
- Đổi biến \(x = - t\) và tính tích phân \(\int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx} \).