Trong không gian \(Oxyz,\) gọi \(M'\) là điểm đối xứng của điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) qua đường thẳng \(\Delta :\,\,\,\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{1}\). Tính khoảng cách từ điểm \(M'\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right).\)

Đáp án 

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \).

Ta có: \(\Delta :\,\,\,\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) và \(M\left( {2;\,\,0;\,\,1} \right)\)

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1;\,\,2;\,\,1} \right).\)

\( \Rightarrow \left( P \right):\,\,\,x - 2 + 2y + z - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y + z - 3 = 0.\)

Bước 2:  Tìm tọa độ điểm \(H = \left( P \right) \cap \Delta \), khi đó \(H\) là trung điểm của \(MM'\), từ đó tìm tọa độ điểm \(M'\).

Gọi \(H\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\Delta \)

\( \Rightarrow \) Toạ độ của \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{1}\\x + 2y + z - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 2 + 2t\\z = 1 + t\\x + 2y + z - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 2 + 2t\\z = 1 + t\\t - 4 + 4t + 1 + t - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 2 + 2t\\z = 1 + t\\t = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1;\,\,0;\,\,2} \right)\end{array}\)

Ta có: \(M'\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(\Delta \) \( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(MM'\) \( \Rightarrow M'\left( {0;\,\,0;\,\,3} \right)\)

Bước 3: Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Ta có: \(\left( {Oxy} \right):\,\,\,z = 0.\)

\( \Rightarrow d\left( {M;\,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = \dfrac{{\left| 3 \right|}}{1} = 3.\)