Trong không gian Oxyz, cho điểm $E\left( {2;1;3} \right)$, mặt phẳng $\left( P \right):\,\,2x + 2y - z - 3 = 0$  và mặt cầu $\left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 36$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua E, nằm trong $\left( P \right)$ và cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của $\Delta$ là:

Dễ thấy $E \in \left( P \right)$ . Gọi I$\left( {3;2;5} \right)$ là tâm khối cầu.

Đường thẳng qua I vuông góc với (P): $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 5 - t\end{array} \right.\,\,\left( d \right)$.

Gọi H là hình chiếu của I lên (P) $\Rightarrow H \in \left( d \right) \Rightarrow H\left( {3 + 2t;2 + 2t;5 - t} \right)$

Lại có $H \in \left( P \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {3 + 2t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) - 5 + t - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 6 + 4t + 4 + 4t - 5 + t - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 9t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{{ - 2}}{9} \Rightarrow H\left( {\dfrac{{23}}{9};\dfrac{{14}}{9};\dfrac{{47}}{9}} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {EH} \left( {\dfrac{5}{9};\dfrac{5}{9};\dfrac{{20}}{9}} \right) = \dfrac{5}{9}\left( {1;\;1;\;4} \right)//\left( {1;1;4} \right) = \overrightarrow a \end{array}$

Để đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm sao cho chúng có khoảng cách nhỏ nhất thì đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ đi qua E và vuông góc với $HE$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{n_P}} \\\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow a \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow a } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\4\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\4\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {9; - 9;\;0} \right) = 9\left( {1; - 1;0} \right)$.

Vậy đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ đi qua E và nhận $\left( {1; - 1;0} \right)$ là 1 VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng $\left( \Delta  \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 3\end{array} \right.$