Trả lời bởi giáo viên
Đáp án A : Nếu tứ giác là hình thang cân thì nó có hai đường chéo bằng nhau.
Đây là mệnh đề đúng.
Đáp án B : Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho \(6\) và \(4\) thì nó chia hết cho \(24\).
Đây là mệnh đề sai, chẳng hạn số \(n = 12\).
Đáp án C : Nếu \(n\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\) thì \({n^2} + 20\) là một hợp số.
Mệnh đề đúng vì nếu \(n\) nguyên tố lớn hơn \(3\) thì \(n\) chia cho \(3\) dư \(1\) hoặc \(2\).
+ TH1 : \(n = 3k + 1 \Rightarrow {n^2} + 20 = {\left( {3k + 1} \right)^2} + 20 \) \(= 9{k^2} + 6k + 21 \vdots 3\)
+ TH2 : \(n = 3k + 2 \Rightarrow {n^2} + 20 = {\left( {3k + 2} \right)^2} + 20 \) \(= 9{k^2} + 12k + 24 \vdots 3\)
Do đó ta luôn có \({n^2} + 20\) là hợp số.
Đáp án D : Nếu \(n\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\) thì \({n^2} - 1\) chia hết cho \(24\).
Mệnh đề đúng vì nếu \(n\) nguyên tố lớn hơn \(3\) thì \(n\) chia cho \(3\) dư \(1\) hoặc \(2\).
+ TH1 : \(n = 3k + 1 \Rightarrow {n^2} - 1 = {\left( {3k + 1} \right)^2} - 1 \) \(= 9{k^2} + 6k = 3k\left( {3k + 2} \right) \vdots 3\)
+ TH2 : \(n = 3k + 2 \Rightarrow {n^2} - 1 = {\left( {3k + 2} \right)^2} - 1 \) \(= 9{k^2} + 12k + 3 = 3\left( {3{k^2} + 4k + 1} \right) \vdots 3\)
Do đó ta luôn có \({n^2} - 1 \vdots 3\)
Ngoài ra \(n\) nguyên tố lớn hơn \(3\) nên \(n\) lẻ, do đó :
\(n = 2m + 1 \Rightarrow {n^2} - 1 = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 1 \) \(= 4{m^2} + 4m = 4m\left( {m + 1} \right) \vdots \left( {4.2} \right) = 8\)
Vậy \({n^2} - 1 \vdots \left( {3.8} \right) = 24\)
Vậy các mệnh đề A, C, D đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Cho định lí \(\forall x \in X,P\left( x \right) \Rightarrow Q\left( x \right)\), nó có thể phát biểu theo ngôn ngữ điều kiện cần, điều kiện đủ như sau :
- Điều kiện cần để có \(P\left( x \right)\) là \(Q\left( x \right)\).
- Điều kiện đủ để có \(Q\left( x \right)\) là \(P\left( x \right)\).
Do đó, phát biểu lại mệnh đề đã cho và chọn đáp án.