Tính độ dài nhỏ nhất của \(DE\) khi \(M\) di chuyển trên BC biết \(AB = 15cm;AC = 20cm.\)

Theo \(DE\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC.\) Khi đó \(DE = AM.\)

Xét tam giác \(ABC\), theo định lý Pyatgo ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 625 \Rightarrow BC = 25\).

Gọi \(BM = x\) thì \(MC = 25 - x\).

Xét tam giác \(AMB\) vuông tại \(M\), theo định lý Pytago ta có \(A{M^2} = A{B^2} - B{M^2} = {15^2} - {x^2} = 225 - {x^2}\) (1)

Xét tam giác \(AMC\) vuông tại \(M,\) theo định lý Pytago ta có \(A{M^2} = A{C^2} - M{C^2} = {20^2} - {\left( {25 - x} \right)^2}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(225 - {x^2} = {20^2} - {\left( {25 - x} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 225 - {x^2} = 400 - \left( {625 - 50x + {x^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 50x = 450 \Leftrightarrow x = 9\).

Suy ra: \(A{M^2} = 225 - {x^2} = 225 - 81 = 144 \Rightarrow AM = 12\) suy ra \(DE = AM = 12cm\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(DE\) là \(12cm.\)