Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1$ có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $1.$
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(y' = 4{x^3} - 4mx = 4x\left( {{x^2} - m} \right)\).
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $ \Leftrightarrow m \ge 0$
Khi đó: $y' = 4m{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt m \end{array} \right.$
Suy ra: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là $A\left( {0;m - 1} \right)$ $B\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1} \right)$, $C\left( {\sqrt m ; - {m^2} + m - 1} \right)$
Ta có: ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {{y_B} - {y_A}} \right|.\left| {{x_C} - {x_B}} \right| = {m^2}\sqrt m $;
$AB = AC = \sqrt {{m^4} + m} $; $BC = 2\sqrt m $
Gọi \(R=1\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)
Diện tích tam giác \(ABC\) là:
\({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{AB.AC.BC}}{{4R}} = \dfrac{{2\sqrt m \left( {{m^4} + m} \right)}}{4}\)
Suy ra \({m^2}\sqrt m = \dfrac{{2\sqrt m \left( {{m^4} + m} \right)}}{4} \Leftrightarrow 2m = {m^3} + 1\)
\( \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {{m^2} + m - 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\{m^2} + m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\m = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\,\,\left( l \right)\end{array} \right.\)
Vậy: \(m = 1\) hoặc \(m = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)
Hướng dẫn giải:
- Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có \(3\) điểm cực trị.
- Tìm tọa độ các điểm cực trị.
- Tính diện tích tam giác và độ dài ba cạnh của tam giác.
- Dựa vào điều kiện bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng \(1\) để tìm \(m\)
Câu hỏi khác
- Bài tập phần giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần đường tiệm cận của đồ thị hàm số thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần sự đồng biến, nghịch biến của hàm số thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần cực trị của hàm số thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản thi ĐGTD Bách khoa
