Cho hàm số $f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx - 2$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}a + b > 1\\3 + 2a + b < 0\end{array} \right.$. Số điểm cực trị của hàm số $y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|$ bằng:

$5$

$9$

$2$

$11$

Xem đáp án

75 lượt xem

Bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản - MÔN TOÁN - Lớp 12. Thi ngay

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: d

Ta có: $f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx - 2$

$ + )f\left( 0 \right) = - 2 < 0;$ $f(1) = a + b - 1 > 0$ nên $f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0$

$ \Rightarrow $ phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất $1$ nghiệm ${x_1} \in \left( {0;1} \right)$

$ + )f\left( 2 \right) = 2\left( {3 + 2a + b} \right) < 0$ nên $f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0$

$ \Rightarrow $ phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất $1$ nghiệm ${x_2} \in \left( {1;2} \right)$

Do đó phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất hai nghiệm và đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ chỉ có thể có dạng:

Khi đó, đồ thị hàm số $y = f\left( {\left| x \right|} \right)$(màu tím) và $y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|$ (màu cam) lần lượt có đồ thị như sau:

Như vậy, hàm số $y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|$ có tất cả $11$ cực trị.

Hướng dẫn giải:

- Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với $Ox$, sử dụng kiến thức:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {a;b} \right)$. Nếu $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất $1$ nghiệm ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$

- Vẽ phác dáng đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$

- Vẽ dáng đồ thị hàm số $y = f\left( {\left| x \right|} \right)$ có được từ đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$

- Vẽ dáng đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|$ và kết luận số điểm cực trị của hàm số $y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|$