Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${\log _2}x - {\log _2}(x - 2) = m$ có nghiệm

Phương trình đã cho tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {\dfrac{x}{{x - 2}}} \right) = m\\x > 2\end{array} \right.$

Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng $y = m $ cắt đồ thị hàm số $y = {\log _2}f\left( x \right)$ với $f\left( x \right) = \dfrac{x}{{x - 2}}$ trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$

Có $f'\left( x \right) =  - \dfrac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0, ∀x > 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 1$ nên ta có các tập giá trị của các hàm số là $f\left( x \right) \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow {\log _2}f\left( x \right) \in \left( {0; + \infty } \right)$

Vậy $0 < m < +∞$.