Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({\log _4}a = {\log _6}b = {\log _9}(a + b).\)Tính tỉ số \(\dfrac{a}{b}\).

Đặt ${\log _4}a = {\log _6}b = {\log _9}\left( {a + b} \right) = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {4^x}\\b = {6^x}\\a + b = {9^x}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{b} = {\left( {\dfrac{4}{6}} \right)^x} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} > 0\\{4^x} + {6^x} = {9^x}(1)\end{array} \right.$

giải (1) \({4^x} + {6^x} = {9^x} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2x}} + {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} < 0(loai)\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\)