Tìm phần ảo \(b\) của số phức $w = 1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{2018}}$.
Trả lời bởi giáo viên
Dễ thấy tổng trên là tổng của cấp số nhân có $2019$ số hạng, trong đó số hạng đầu tiên ${u_1} = 1$, công bội $q = 1 + i$.
Do đó $w = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^{2019}}}}{{1 - q}} = 1.\dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2019}}}}{{1 - \left( {1 + i} \right)}} $ $= \dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2019}}}}{{ - i}}$
Ta có ${\left( {1 + i} \right)^2} = 1 + 2i + {i^2} = 2i$.
Suy ra \({\left( {1 + i} \right)^{2019}} = {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{1009}}.\left( {1 + i} \right) = {\left( {2i} \right)^{1009}}\left( {1 + i} \right)\) \( = {2^{1009}}.{i^{1009}}.\left( {1 + i} \right)\) \(= {2^{1009}}.i.\left( {1 + i} \right) = {2^{1009}}.\left( { - 1 + i} \right)\)
Vậy $w = \dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2019}}}}{{ - i}} = \dfrac{{1 - {2^{1009}}.\left( { - 1 + i} \right)}}{{ - i}} = \dfrac{{i.\left[ {1 - {2^{1009}}.\left( { - 1 + i} \right)} \right]}}{1} = {2^{1009}} + \left( {{2^{1009}} + 1} \right)i$
Hướng dẫn giải:
Tổng cần tính là tổng của cấp số nhân có $2019$ số hạng, trong đó số hạng đầu tiên ${u_1} = 1$, công bội $q = 1 + i$.
Sử dụng công thức tính tổng \({S_n} = u_1.\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\).