Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm $m \ne 0$ để phương trình ${x^2}\left| {x - 3} \right| = m + \dfrac{1}{m}$ có 4 nghiệm phân biệt.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Số nghiệm của phương trình ${x^2}\left| {x - 3} \right| = m + \dfrac{1}{m}$ là số giao điểm của đường thẳng $y = m + \dfrac{1}{m}$ và đồ thị hàm số $y = {x^2}\left| {x - 3} \right|$.
Ta có: \({x^2}\left| {x - 3} \right| = \left| {{x^2}} \right|.\left| {x - 3} \right| = \left| {{x^2}\left( {x - 3} \right)} \right| = \left| {{x^3} - 3{x^2}} \right|\).
Do đó, ta có đồ thị hàm số $y = {x^2}\left| {x - 3} \right|$:
Phương trình ${x^2}\left| {x - 3} \right| = m + \dfrac{1}{m}$ có 4 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow $đường thẳng $y = m + \dfrac{1}{m}$ cắt đồ thị hàm số $y = {x^2}\left| {x - 3} \right|$ tại 4 điểm phân biệt $ \Leftrightarrow 0 < m + \dfrac{1}{m} < 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{{m^2} + 1}}{m} > 0 \hfill \\ \dfrac{{{m^2} - 4m + 1}}{m} < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > 0 \hfill \\ {m^2} - 4m + 1 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > 0 \hfill \\ 2 - \sqrt 3 < m < 2 + \sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} $
$ \Leftrightarrow 2 - \sqrt 3 < m < 2 + \sqrt 3 $
Hướng dẫn giải:
- Vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ từ đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$:
Ta có: $y = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{gathered} f\left( x \right)\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,f\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\ - f\left( x \right)\,\,\,\,khi\,\,\,f\left( x \right) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Do đó đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ gồm hai phần:
+) Phần 1: Giữ lại phần đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ ở phía trên trục hoành.
+) Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ ở phía dưới trục hoành lên phía trên qua trục hoành sau đó xóa đi phần đồ thị phía dưới trục hoành
- Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào số giao điểm của đường thẳng và đường cong vừa vẽ được.
Câu hỏi khác
- Đề thi thử THPTQG môn Toán Chuyên ĐH Vinh Nghệ An lần 3 Toán 12 có lời giải chi tiết
- Đề thi thử THPTQG - Đề số 2 Toán 12 có lời giải chi tiết
- Đề thi thử THPTQG - Đề số 4 Toán 12 có lời giải chi tiết
- Đề thi thử THPTQG - Đề số 1 Toán 12 có lời giải chi tiết
- Đề tập huấn thi THPTQG Sở Giáo Dục và Đào Tạo Bắc Ninh 2019 Toán 12 có lời giải chi tiết
