Tập xác định của hàm số $f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_4}\left( {{{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_{16}}\left( {{{\log }_{\frac{1}{{16}}}}x} \right)} \right)} \right)} \right)$ là một khoảng có độ dài n/m, với m và n là các số nguyên dương và nguyên tố cùng nhau. Khi đó $m-n$ bằng:

Hàm số $f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_4}\left( {{{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_{16}}\left( {{{\log }_{\frac{1}{{16}}}}x} \right)} \right)} \right)} \right)$ xác định

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _{\frac{1}{{16}}}}x > 0\\{\log _{16}}\left( {{{\log }_{\frac{1}{{16}}}}x} \right) > 0\\{\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_{16}}\left( {{{\log }_{\frac{1}{{16}}}}x} \right)} \right) > 0\\{\log _4}\left( {{{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_{16}}\left( {{{\log }_{\frac{1}{{16}}}}x} \right)} \right)} \right) > 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x < 1\\{\log _{\frac{1}{{16}}}}x > 1\\{\log _{16}}\left( {{{\log }_{\frac{1}{{16}}}}x} \right) < 1\\{\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_{16}}\left( {{{\log }_{\frac{1}{{16}}}}x} \right)} \right) > 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 1\\x < \frac{1}{{16}}\\{\log _{\frac{1}{{16}}}}x < 16\\{\log _{16}}\left( {{{\log }_{\frac{1}{{16}}}}x} \right) < \frac{1}{4}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x < 1\\x < \frac{1}{{16}}\\x > {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{16}}\\{\log _{\frac{1}{{16}}}}x < {16^{\frac{1}{4}}} = 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{16}} < x < \frac{1}{{16}}\\x > {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^2} = \frac{1}{{256}}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{{256}} < x < \dfrac{1}{{16}}$.

Suy ra tập xác định của hàm số đã cho là $D = \left( {\dfrac{1}{{256}};\dfrac{1}{{16}}} \right)$.

$\Rightarrow$ Tập xác định là khoảng có độ dài là $\dfrac{1}{{16}} - \dfrac{1}{{256}} = \dfrac{{15}}{{256}}$ $\Rightarrow n = 15,\,\,m = 256$.

Vậy $m - n = 256 - 15 = 241$.