Tam giác \(ABC\) có \(AB = c,\;BC = a,\;CA = b\). Các cạnh \(a,\;b,\;c\) liên hệ với nhau bởi đẳng thức \(b\left( {{b^2} - {a^2}} \right) = c\left( {{a^2} - {c^2}} \right)\). Khi đó góc \(\widehat {BAC}\) bằng bao nhiêu độ?  

Theo định lí hàm cosin, ta có \(\cos \widehat {BAC} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}}\)\( = \dfrac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

Mà \(b\left( {{b^2} - {a^2}} \right) = c\left( {{a^2} - {c^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow {b^3} - {a^2}b = {a^2}c - {c^3}\) \( \Leftrightarrow  - {a^2}\left( {b + c} \right) + \left( {{b^3} + {c^3}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2} - bc} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} - bc = 0\)  (do \(b > 0,\;c > 0\))

\( \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = bc\)

Khi đó, \(\cos \widehat {BAC} = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow \widehat {BAC} = 60^\circ \)