Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \({2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} = 4\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Điều kiện : $x \ne 0$
Với $x < 0$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{{4x}} < 0\\\dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{x} < 0\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} < 1\\{2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} < 1\end{array} \right. $ $\Rightarrow {2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} < 2$
⇒ Phương trình không có nghiệm $x < 0$
Với $x > 0$, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta được.
$\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{{4x}} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{1}{{4x}}} = 1\\\dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{4}.\dfrac{1}{x}} = 1\end{array} \right. $ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} \ge 2\\{2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} \ge 2\end{array} \right. $ $\Rightarrow {2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} \ge 4$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{4x}}\\\dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{x}\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{x^2} = 1\\
{x^2} = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = \frac{1}{4}\\
{x^2} = 4
\end{array} \right.$(không xảy ra)
Vậy ${2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} > 4$ nên phương trình vô nghiệm
Hướng dẫn giải:
Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá vế trái, suy ra phương trình vô nghiệm