Nếu $\sin \left( {2\alpha  + \beta } \right) = 3\sin \beta ;$ $\cos \alpha  \ne 0;$ $\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) \ne 0$ thì $\tan \left( {\alpha  + \beta } \right)$ bằng:

Ta có:

$\sin \left( {2\alpha  + \beta } \right) = 3\sin \beta $ $ \Rightarrow \sin 2\alpha \cos \beta  + \cos 2\alpha \sin \beta  = 3\sin \beta $

$ \Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta  + \left( {2{{\cos }^2}\alpha  - 1} \right)\sin \beta  = 3\sin \beta $

$ \Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta  + 2{\cos ^2}\alpha \sin \beta  = 4\sin \beta $

$ \Rightarrow 2\cos \alpha \left( {\sin \alpha \cos \beta  + \sin \beta \cos \alpha } \right) = 4\sin \beta $

$ \Rightarrow \cos \alpha \sin \left( {\alpha  + \beta } \right) = 2\sin \beta $  

Lại có:

$\sin \left( {2\alpha  + \beta } \right) = 3\sin \beta $ $ \Rightarrow \sin 2\alpha \cos \beta  + \cos 2\alpha \sin \beta  = 3\sin \beta $

$ \Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta  + \left( {1 - 2{{\sin }^2}\alpha } \right)\sin \beta  = 3\sin \beta $

$ \Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha \cos \beta  - 2{\sin ^2}\alpha \sin \beta  = 2\sin \beta $

$ \Rightarrow 2\sin \alpha \left( {\cos \alpha \cos \beta  - \sin \beta \sin \alpha } \right) = 2\sin \beta $

$ \Rightarrow \sin \alpha \cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = \sin \beta $

Từ đó suy ra  \(\dfrac{{\cos \alpha \sin \left( {\alpha  + \beta } \right)}}{{\sin \alpha \cos \left( {\alpha  + \beta } \right)}} = \dfrac{{2\sin \beta }}{{\sin \beta }}\) hay $\cot \alpha \tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = 2$$ \Rightarrow \tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = 2\tan \alpha $