Câu hỏi:
2 năm trước
Hỏi phương trình \({3.2^x} + {4.3^x} + {5.4^x} = {6.5^x}\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
\(pt \Leftrightarrow 3.{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^x} + 4.{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^x} + 5.{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^x} - 6 = 0\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 3.{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^x} + 4.{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^x} + 5.{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^x} - 6\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3 \cdot {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^x} \cdot \ln \dfrac{2}{5} + 4 \cdot {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^x} \cdot \ln \dfrac{3}{5} + 5 \cdot {\left( {\dfrac{4}{5}} \right)^x} \cdot \ln \dfrac{4}{5} < 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
Do đó hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) mà \(f\left( 0 \right) = 6 > 0\), \(f\left( 2 \right) = - 22 < 0\) nên $f(0).f(2)<0$ hay phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất thuộc khoảng $(0;2)$
Hướng dẫn giải:
Chia cả hai vế của phương trình cho $5^x$ và sử dụng phương pháp hàm số:
- Xét tính đơn điệu của hàm số suy ra số nghiệm tối đa của phương trình.
- Nhận xét nghiệm của phương trình và kết luận.
