Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - i} \right| = 5$ và ${z^2}$ là số thuần ảo?

Đặt $z = a + bi$

Ta có: $\left| {z - i} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {a + bi - i} \right| = 5$ $\Leftrightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = 5$ $\Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 25$ (1)

${z^2} = (a+bi)^2={a^2} + 2{\rm{a}}bi - {b^2}=a^2-b^2+2abi$

Do ${z^2}$ là số thuần ảo nên:${a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} b = a\\ b = - a \end{array} \right.$

TH1: b=a thay vào (1) ta được:

${a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = 25$ $\Leftrightarrow {a^2} + {a^2} - 2a + 1 = 25$ $\Leftrightarrow 2{a^2} - 2a - 24 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 4 \Rightarrow b = 4\\ a = - 3 \Rightarrow b = - 3 \end{array} \right.$

TH2: b=-a thay vào (1) ta được:

${a^2} + {\left( { - a - 1} \right)^2} = 25$ $\Leftrightarrow {a^2} + {a^2} + 2a + 1 = 25$ $\Leftrightarrow 2{a^2} + 2a - 24 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 3 \Rightarrow b = - 3\\ a = - 4 \Rightarrow b = 4 \end{array} \right.$

Vậy có $4$ số phức cần tìm là: $4+4i, -3-3i,$ $3-3i, -4+4i$.