Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 điểm $A(2;1;0),\,\,B(1;-1;3)$ . Mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (P): $x+3y-2z-1=0$ có phương trình là

$5x-y+z-9=0$ .

$-5x-y+z+11=0$ .

$5x+y-z+11=0$ .

$-5x+y+z+9=0$ .

Xem đáp án

99 lượt xem

Đề kiểm tra học kì 2 - Đề số 3 - MÔN TOÁN - Lớp 12. Thi ngay

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: a

Gọi mặt phẳng cần tìm là $\left( \alpha \right)$ .

(P): $x+3y-2z-1=0$ có một VTPT $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\left( 1;3;-2 \right)=\overrightarrow{{{u}_{1}}}$ . Vì $\left( \alpha \right)\bot (P)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha \right)}}\bot {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}$

$AB\subset \left( \alpha \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha \right)}}\bot \overrightarrow{AB}=\left( -1;-2;3 \right)=\overrightarrow{u_2}$

Khi đó, $\left( \alpha \right)$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(5;-1;1)$

Phương trình $\left( \alpha \right)$ : $5.(x-2)-1.(y-1)+1.(z-0)=0\Leftrightarrow 5x-y+z-9=0$

Hướng dẫn giải:

Cho $\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ , khi đó $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$ .

$\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] =$ $\left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}&\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}&\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}&\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}\end{array}} \right|} \right) =$ $\left( {{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)$