Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 điểm \(A(2;1;0),\,\,B(1;-1;3)\). Mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (P): \(x+3y-2z-1=0\) có phương trình là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Gọi mặt phẳng cần tìm là \(\left( \alpha \right)\).
(P): \(x+3y-2z-1=0\) có một VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\left( 1;3;-2 \right)=\overrightarrow{{{u}_{1}}}\). Vì \(\left( \alpha \right)\bot (P)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha \right)}}\bot {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}\)
\(AB\subset \left( \alpha \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha \right)}}\bot \overrightarrow{AB}=\left( -1;-2;3 \right)=\overrightarrow{u_2}\)
Khi đó, \(\left( \alpha \right)\)có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(5;-1;1)\)
Phương trình \(\left( \alpha \right)\): \(5.(x-2)-1.(y-1)+1.(z-0)=0\Leftrightarrow 5x-y+z-9=0\)
Hướng dẫn giải:
Cho \(\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}}\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), khi đó \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] =\) \( \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}&\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}&\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}&\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}\end{array}} \right|} \right) =\) \( \left( {{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)\)
