Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left| {\dfrac{1}{4}{x^4} - 14{x^2} + 48x + m - 30} \right|$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$ không vượt quá 30. Tổng giá trị của phần tử tập hợp S bằng bao nhiêu ?

Xét hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{4}{x^4} - 14{x^2} + 48x + m - 30$ có $y' = {x^3} - 28x + 48$.

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 6\\x = 4\\x = 2\end{array} \right.$

Bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right]$:

TH1: $m - 30 \ge 0$ $\Leftrightarrow m \ge 30$.

$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = m + 14 \le 30 \Leftrightarrow m \le 16$ (Vô lí).

TH2: $m - 30 < 0 \le m + 14$ $\Leftrightarrow  - 14 \le m < 30$.

+ Nếu $m + 14 \ge 30 - m \Leftrightarrow m \ge 8$, kết hợp điều kiện ta có: $8 \le m < 30$ thì $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = m + 14 \le 30 \Leftrightarrow m \le 16$.

$\Rightarrow 8 \le m \le 16$.

+ Nếu $m + 14 < 30 - m \Leftrightarrow m < 8$, kết hợp điều kiện ra có $- 14 \le m < 8$ thì $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 30 - m \le 30 \Leftrightarrow m \ge 0$.

$\Rightarrow 0 \le m < 8$

Vậy trường hợp 2 ta có $0 \le m \le 16$ thỏa mãn.

TH3: $m + 14 < 0 \Leftrightarrow m <  - 14$.

$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 30 - m \le 30 \Leftrightarrow m \ge 0$  (vô lí).

Từ các trường hợp $\Rightarrow m \in \left[ {0;16} \right]$.

$\Rightarrow S = \left\{ {0;1;2;3;...;16} \right\}$.

Vậy tổng các phần tử của $S$ bằng $0 + 1 + 2 + ... + 16 = \dfrac{{16.17}}{2} = 136$.