Giải phương trình: \(20{\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^2} - 5{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} + 48\dfrac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 1}} = 0\)  ta được các nghiệm là \({x_1};{x_2}\)  với \({x_1} < {x_2}\) . Tính \(3{x_1} - {x_2}.\)

ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 1\) .

\(Pt \Leftrightarrow 20{\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^2} + 48.\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - 5{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} = 0\)

Với \(x =  - 2\) ta có phương trình \( \Leftrightarrow 20.{\left( {\dfrac{{ - 4}}{{ - 1}}} \right)^2} = 0\) vô lý \( \Rightarrow x =  - 2\) không là nghiệm của phương trình.

Lại có với \(x \ne 1;\,\,x \ne  - 2\) thì \({\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} \ne 0,\) ta chia hai vế của phương trình cho \({\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2}\), ta được:

\(pt \Leftrightarrow 20{\left[ {\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]^2} + 48\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} - 5 = 0\)

Đặt \(t = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) , ta có

 \(\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow 20{t^2} + 48t - 5 = 0 \Leftrightarrow 20{t^2} + 50t - 2t - 5 = 0\\ \Leftrightarrow 10t\left( {2t + 5} \right) - \left( {2t + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {2t + 5} \right)\left( {10t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t + 5 = 0\\10t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{5}{2}\\t = \dfrac{1}{{10}}\end{array} \right..\end{array}\)

Với \(t =  - \dfrac{5}{2}\) ta có:

 $\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  - \dfrac{5}{2}\\ \Rightarrow 2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) =  - 5\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x + 4 =  - 5{x^2} - 15x - 10\\ \Leftrightarrow 7{x^2} + 9x + 14 = 0\\ \Leftrightarrow 7\left( {{x^2} + 2.\dfrac{9}{{14}}x + \dfrac{{81}}{{196}}} \right) - \dfrac{{81}}{{28}} + 14 = 0\\ \Leftrightarrow 7{\left( {x + \dfrac{9}{{14}}} \right)^2} + \dfrac{{311}}{{28}} = 0\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array}$

Với \(t = \dfrac{1}{{10}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{10}}\\ \Rightarrow 10\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = {x^2} + 3x + 2\\ \Leftrightarrow 9{x^2} - 33x + 18 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 11x + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 2 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\x = 3\end{array} \right.(tm)\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {3;\,\,\dfrac{2}{3}} \right\}\)

Từ giả thiết suy ra \({x_1} = \dfrac{2}{3};{x_2} = 3 \Rightarrow 3{x_1} - {x_2} =  - 1.\)