Giả sử $m$ là số thực sao cho phương trình \(\log _3^2x - (m + 2){\log _3}x + 3m - 2 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) phân biệt thỏa mãn \({x_1}.{x_2} = 9\) .

Khi đó $m$ thỏa mãn tính chất nào sau đây?

Đặt \(t = {\log _3}x\) suy ra phương trình trở thành \({t^2} - (m + 2)t + 3m - 2 = 0\)(*).

Để phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thì (*) cũng có hai nghiệm \({t_1};{t_2}\) .

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \({t_1};{t_2}\)

$ \Leftrightarrow \Delta  > 0\, \Leftrightarrow \,{\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {3m - 2} \right) > 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < 2\end{array} \right.$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {3^{{t_1}}}\\{x_2} = {3^{{t_2}}}\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = {3^{{t_1} + {t_2}}} = 9 \Leftrightarrow {t_1} + {t_2} = 2.$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({t_1} + {t_2} = m + 2\)

\( \Rightarrow m + 2 = 2 \Leftrightarrow m = 0\).

Suy ra \(m \in \left( { - 1;1} \right)\)