Đề thi chính thức ĐGTD Bách khoa 2022
Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn \(\sqrt[4]{{\log a}} + \sqrt {\log b} + \log \sqrt[4]{a} + \log \sqrt b = 108\) và bốn số \(\sqrt[4]{{\log a}},\sqrt {\log b} ,\log \sqrt[4]{a},\log \sqrt b \) là các số nguyên dương. Khi đó, ab bằng
Trả lời bởi giáo viên
\(\begin{array}{l}\sqrt[4]{{\log a}} = x \Rightarrow \log a = {x^4} \Rightarrow \log \sqrt[4]{a} = \dfrac{{{x^4}}}{4} \in {\mathbb{Z}^ + }\\ \Rightarrow x \vdots 2 \Rightarrow x = 2m\\\sqrt {\log b} = y \Rightarrow \log b = {y^2} \Rightarrow \log \sqrt b = \dfrac{{{y^2}}}{2} \in {\mathbb{Z}^ + }\\ \Rightarrow y \vdots 2 \Rightarrow y = 2n\end{array}\)
Khi đó \(\sqrt[4]{{\log a}} + \sqrt {\log b} + \log \sqrt[4]{a} + \log \sqrt b = 108\) trở thành
\(2m + 2n + 4{m^4} + 2{n^2} = 108\)
Do \(m,n\) nguyên dương nên ta có:
\(2m + 4{m^4} \le 108 - 2 - 2 = 104 \Rightarrow 1 \le m \le 2\)
Với m=1 thì \({n^2} + n = 51\)\( \Rightarrow \) Loại vì \({n^2} + n = n\left( {n + 1} \right) \vdots 2\)
Với m=2 thì \({n^2} + n = 20 \Leftrightarrow n = 4\)
\( \Rightarrow x = 4;y = 8 \Rightarrow a = {10^{256}};b = {10^{64}} \Rightarrow a.b = {10^{320}}\)
Hướng dẫn giải:
- Đặt \(\sqrt[4]{{\log a}} = x\) và \(\sqrt {\log b} = y\)
- Biến đổi \(\log \sqrt[4]{a}\) và \(\log \sqrt b \) theo \(x\) và \(y\)
- Sử dụng điều kiện nguyên dương của \(\sqrt[4]{{\log a}},\sqrt {\log b} ,\log \sqrt[4]{a},\log \sqrt b \) để tìm \(x\) và \(y\)
Câu hỏi khác
- Đề thi thử phần Toán ĐGTD Đại học Bách Khoa Hà Nội lần 1, có đáp án và lời giải chi tiết
- Đề thi thử phần Toán ĐGTD Đại học Bách Khoa Hà Nội lần 2, có đáp án và lời giải chi tiết
- Đề thi chính thức ĐGTD Bách khoa 2022 - mã 103 có đáp án và lời giải chi tiết
- Đề thi thử ĐGTD Bách khoa trường Yên Lạc - Lần 2 có đáp án và lời giải chi tiết
