Đề thi chính thức ĐGTD Bách khoa 2022

Biết hai số thực a,b thoả mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {16{x^2} + ax + 2022}  - bx} \right) =  - 3\). Khi đó, khẳng định nào dưới đây đúng?

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {16{x^2} + ax + 2022}  - bx} \right) =  - 3\)\( \Rightarrow b < 0\)

(Vì nếu \(b \ge 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {16{x^2} + ax + 2022}  - bx} \right) =  + \infty \))

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {16{x^2} + ax + 2022}  - bx} \right) =  - 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {16{x^2} + ax + 2022}  - bx} \right) =  - 3\\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\left( {16 - {b^2}} \right){x^2} + ax + 2022}}{{\sqrt {16{x^2} + ax + 2022}  + bx}} =  - 3\\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\left( {16 - {b^2}} \right){x^2} + ax + 2022}}{{ - x\sqrt {16 + \dfrac{a}{x} + \dfrac{{2022}}{{{x^2}}}}  + bx}} =  - 3\\ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{\left( {16 - {b^2}} \right)x + a + \dfrac{{2022}}{x}}}{{ - \sqrt {16 + \dfrac{a}{x} + \dfrac{{2022}}{{{x^2}}}}  + b}} =  - 3\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16 - {b^2} = 0\\\dfrac{a}{{ - \sqrt {16}  + b}} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = 16\\a = 3.\left( {b - 4} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4\\a =  - 24\end{array} \right.\)\( \Rightarrow a \in \left( { - \infty ; - 20} \right)\)