Có bao nhiêu giá trị thực của \(m\) để bất phương trình \({4^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} + m < 0\) vô nghiệm?

\({4^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} + m < 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt \({2^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right).\)

Khi đó bất phương trình đã cho \( \Leftrightarrow {t^2} - \left( {m + 1} \right)t + m < 0\,\,\,\left( * \right).\)

TH1: \(m = 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 < 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} < 0\) \( \Rightarrow \) bất phương trình vô nghiệm.

\( \Rightarrow m = 1\) thỏa mãn.

TH2: \(m \ne 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - mt - t + m < 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - t - \left( {mt - m} \right) < 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t - 1} \right) - m\left( {t - 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - m} \right) < 0\,\,\,\end{array}\)

+) Với \(m > 1\) \( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( {1;\,\,m} \right) \subset \left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \) Bất phương trình  \(\left( * \right)\) luôn có nghiệm \(t > 0\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) luôn có nghiệm \(x\) \( \Rightarrow m > 1\) không thỏa mãn.

+) Với \(m < 1\) \( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( {m;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow \) Bất phương trình  \(\left( * \right)\) luôn có nghiệm \(0 < t < 1\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) luôn có nghiệm \(x\) \( \Rightarrow m < 1\) không thỏa mãn.

Vậy chỉ có \(m = 1\) thỏa mãn bài toán.