Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình \(\log _2^2x - \left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2m + 3 \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {1;32} \right]\)?

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\log _2^2x - \left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2m + 3 \ge 0\,\,(1)\\ \Leftrightarrow \log _2^2x - {\log _2}x + 3 \ge m\left( {{{\log }_2}x + 2} \right)\end{array}\)

Đặt \({\log _2}x = t,\,\,t \in \left[ {0;5} \right]\). Bất phương trình trở thành:

\({t^2} - t + 3 \ge m\left( {t + 2} \right) \Leftrightarrow m \le \dfrac{{{t^2} - t + 3}}{{t + 2}}\,\,\left( {do\,\,t + 2 > 0} \right)\,\,\,(2)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - t + 3}}{{t + 2}},\,t \in \left[ {0;5} \right]\), có:

\(f'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {2t - 1} \right)\left( {t + 2} \right) - \left( {{t^2} - t + 3} \right)}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{{t^2} + 4t - 5}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}\)

Giải \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \in \left[ {0;5} \right]\\t =  - 5 \notin \left[ {0;5} \right]\end{array} \right.\).

Hàm số \(y = f\left( t \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;5} \right]\), có: \(f\left( 0 \right) = \dfrac{3}{2},\,f\left( 1 \right) = 1,\,f\left( 5 \right) = \dfrac{{23}}{7}\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( t \right) = 1\).

Để (1) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {1;32} \right]\) thì (2) nghiệm đúng với mọi \(t \in \left[ {0;5} \right] \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( t \right) \Leftrightarrow m \le 1\).

Mà \(m \in \left[ { - 10;10} \right],m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 10; - 9;...;0;1} \right\}\).

Vậy có 12 giá trị m thỏa mãn.