Cho \(x,y,z \in \left[ {0;2} \right]\) và thỏa mãn \(x + 2y + z = 6\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {3^{2x - {x^2}}} + {5^{2y - {y^2}}} + {3^z} + 2{x^2} + 4{y^2}\).

Với \(x,y,z \in \left[ {0;2} \right]\), ta có:

\(P = {3^{2x - {x^2}}} + {5^{2y - {y^2}}} + {3^z} + 2{x^2} + 4{y^2}\)

\( = {3^{2x - {x^2}}} + {5^{2y - {y^2}}}+ {9^{\frac{z}{2}}}+ 2{x^2} + 4{y^2}\)

Ta có: $2x - {x^2}=1-(x-1)^2=>0 \le 2x - {x^2}\le 1$

Tương tự, $0 \le 2y - {y^2}\le 1$

$0 \le z\le 2$=>$0 \le \dfrac{z}{2}\le 1$

Áp dụng BĐT Bernoulli ta được

\( \ge 2\left( {2x - {x^2}} \right) + 1 + 4\left( {2y - {y^2}} \right) + 1 + 8.\dfrac{z}{2} + 1+ 2{x^2} + 4{y^2}\)

\(= 4x - 2{x^2} + 1 + 8y - 4{y^2} + 1 + 4\left( {6 - x - 2y} \right) \)\(+ 1 + 2{x^2} + 4{y^2}\)\(= 27.\)

Đẳng thức xảy ra khi

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - {x^2} = 0 \vee 2x - {x^2} = 1\\2y - {y^2} = 0 \vee 2y - {y^2} = 1\\\dfrac{z}{2} = 0 \vee \dfrac{z}{2} = 1\\x + 2y + z = 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}z = 2\\x + 2y = 4\\2x - {x^2} = 0 \vee 2x - {x^2} = 1\\2y - {y^2} = 0 \vee 2y - {y^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}z = 0\\x + 2y = 6\\2x - {x^2} = 0 \vee 2x - {x^2} = 1\\2y - {y^2} = 0 \vee 2y - {y^2} = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}z = 2\\x = 4 - 2y\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}z = 0\\x  = 6- 2y\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 2\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0,y = z = 2\\z=2,y=1,x=2\\x = y = 2,z = 0\end{array} \right.\end{array}\).

Vậy \(\max P = 27\).