Cho tứ giác \(ABCD\), lấy \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,BC,CD,DA.\) Tứ giác \(ABCD\) cần có điều kiện gì để \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
Trả lời bởi giáo viên
![Lời giải - Đề kiểm tra giữa học kì 1 - Đề số 1 - ảnh 1](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528859956929_23.png)
Nối \(AC\) , $BD$.
+ Xét tam giác \(ABD\) có \(M,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB;\,AD\) nên \(MQ\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\)
Suy ra \(MQ{\rm{//}}BD;\,MQ = \dfrac{1}{2}BD\) \(\left( 1 \right)\) .
+ Tương tự, xét tam giác \(CBD\) có \(N,P\) lần lượt là trung điểm của \(BC;\,CD\) nên \(NP\) là đường trung bình của tam giác \(CBD\). Suy ra \(NP{\rm{//}}BD;\,NP = \dfrac{1}{2}BD\)\(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right);\,\left( 2 \right) \Rightarrow MQ{\rm{//}}NP;\,MQ = NP \Rightarrow MNPQ\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
+ Để hình bình hành \(MNPQ\) là hình chữ nhật thì \(\widehat {MQP} = 90^\circ \) hay \(MQ \bot QP\)
Lại có \(QP{\rm{//}}AC\) (do \(QP\) là đường trung bình của tam giác \(DAC\) ) nên \(MQ \bot AC\) mà \(MQ{\rm{//}}BD\) (cmt) nên \(AC \bot BD\) .
Vậy tứ giác \(ABCD\) cần có \(AC \bot BD\) thì \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Chứng minh \(MNPQ\) là hình bình hành bằng cách chứng minh cặp cạnh song song và bằng nhau được suy ra từ tính chất đường trung bình.
Bước 2: Dựa vào dấu hiệu nhận biết “hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật” suy ra điều kiện của \(ABCD\) để hình bình hành \(MNPQ\) là hình chữ nhật.