Cho tứ diện $ABCD $ và $G$ là trọng tâm tam giác $ACD.$ Mặt phẳng $(P)$ qua $BG$ và song song với $CD$ chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (số bé chia số lớn) của hai phần đó là:

Gọi $H$ là trung điểm của $CD.$ Ta có $G$ là trọng tâm tam giác $ACD$ \( \Rightarrow \dfrac{{AG}}{{AH}} = \dfrac{2}{3}.\)

Trong mặt phẳng $ACD,$ qua $G$ kẻ đường thẳng song song với $CD,$ cắt $AC$ tại $M$ và cắt $AD$ tại $N.$

Khi đó ta có mặt phẳng (P) là mặt phẳng (BMN).

Mặt phẳng (BMN) chia tứ diện ABCD thành hai phần là ABMN có thể tích

\({V_1}\) và BMNDC có thể tích \({V_2}.\)

\( \Rightarrow V = {V_{ABCD}} = {V_1} + {V_2}.\)

Ta có MN//CD theo cách dựng \( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{{AN}}{{AD}} = \dfrac{{AG}}{{AH}} = \dfrac{2}{3}\) (định lý Ta-lét).

Theo công thức tỉ lệ thể tích ta có: \(\dfrac{{{V_{ABMN}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{{AB}}{{AB}}.\dfrac{{AM}}{{AC}}.\dfrac{{AN}}{{AD}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_1} = \dfrac{4}{9}V \Rightarrow {V_2} = V - {V_1} = \dfrac{5}{9}V.\\ \Rightarrow {V_1} < {V_2} \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{4}{9}.\dfrac{9}{5} = \dfrac{4}{5}.\end{array}\)