Câu hỏi:
2 năm trước
Cho tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{{\tan \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)dx}}{{\cos 2x}}} \). Giá trị của biểu thức \(T = 2I + \sqrt 3 \) là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
$\begin{array}{l}\tan \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\tan x - 1}}{{1 + \tan x}} = \dfrac{{\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - 1}}{{1 + \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = \dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x + \cos x}}\\\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = - \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{\tan \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)}}{{\cos 2x}} = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 1}}{{2{{\sin }^2}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}\\ \Rightarrow I = - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{6}} {\dfrac{{dx}}{{2{{\sin }^2}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}} = \left. {\dfrac{1}{2}\cot \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{6}} = \dfrac{1}{2}\left( {2 - \sqrt 3 - 1} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {1 - \sqrt 3 } \right)\\ \Rightarrow T = 2I + \sqrt 3 = 1 - \sqrt 3 + \sqrt 3 = 1.\end{array}$
Hướng dẫn giải:
Sử dụng công thức \(\tan \left( {a - b} \right) = \dfrac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}},\,\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = \left( {\cos a - \sin a} \right)\left( {\cos a + \sin a} \right)\)
Rút gọn và sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.
Câu hỏi khác
- Bài tập nguyên hàm toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân các hàm số cơ bản toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp từng phần để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
