Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\), các đường cao \(BD,\,\,CE\) \(\left( {D \in AC,\,\,E \in AB} \right)\) cắt nhau tại \(H\).

Hai đường thẳng \(DE\) và \(BC\) cắt nhau tại \(K\). Chọn khẳng định đúng?

Ta có \(\angle AGD = \angle AED\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD\))

Mà \(\angle AED = \angle ACB\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp \(BEDC\))

\( \Rightarrow \angle AGD = \angle ACB = \angle DCM\).

Lại có \(\angle AGD + \angle DGM = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \angle DGM + \angle DCM = {180^0}\).

\( \Rightarrow GDCM\) là tứ giác nội tiếp (dhnb) \( \Rightarrow \angle MGC = \angle MDC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(MC\)).

Lại có \(DM = \frac{1}{2}BC = MC\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông) \( \Rightarrow \Delta MCD\) cân tại \(M\).

\( \Rightarrow \angle MDC = \angle MCD\) (2 góc ở đáy của tam giác cân).

\( \Rightarrow \angle MGC = \angle MCD = \angle MCA\).

Xét \(\Delta GCM\) và \(\Delta CAM\) có: \(\angle AMC\) chung ; \(\angle MAC = \angle GCM\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta GCM \sim \Delta CAM\,\,\left( {g.g} \right)\) \( \Rightarrow \angle MAC = \angle GCM\) (2 góc tương ứng)