Cho số phức z thỏa mãn |z−2|=2. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=(1−i)z+i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó
Trả lời bởi giáo viên
Giả sử w=a+bi . Ta có
w=(1−i)z+i⇔a+bi=(1−i)z+i⇔a+bi=(1−i)(z−2)+i+2(1−i)⇔a+bi=(1−i)(z−2)+2−i⇔(1−i)(z−2)=a−2+(b+1)i⇔z−2=a−2+(b+1)i1−i⇔z−2=[a−2+(b+1)i](1+i)2⇔z−2=12[a−2−b−1+(a−2+b+1)i]⇔z−2=12[a−b−3+(a+b−1)i]
Theo giả thiết |z−2|=2 nên ta có 14[(a−b−3)2+(a+b−1)2]=4⇔(a−b−3)2+(a+b−1)2=16⇔2a2+2b2+10−8a+4b=16⇔a2+b2−4a+2b−3=0⇔(a−2)2+(b+1)2=8
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức w là một đường tròn có bán kính bằng 2√2.
Hướng dẫn giải:
Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
Bước 1: Gọi số phức z=x+yi có điểm biểu diễn là M(x;y)
Bước 2: Thay z vào đề bài ⇒ Sinh ra một phương trình:
+) Đường thẳng: Ax+By+C=0.
+) Đường tròn: x2+y2−2ax−2by+c=0.
+) Parabol: y=a.x2+bx+c
+) Elip: x2a+y2b=1