Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\) (Với \(m\) là tham số). Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\) với mọi \(m\). Tìm các giá trị của tham số \(m\) sao cho: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4\).

Các giá trị m thỏa mãn viết theo thứ tự từ bé đến lớn là m=

và m=

Ta có: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\) (1)

Phương trình (1) có: \(\Delta ' = {(m - 1)^2} - m + 3 = {m^2} - 3m + 4 = {\left( {m - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0\,\,\,\forall m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\).

Khi đó theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2m - 2}\\{{x_1}.{x_2} = m - 3}\end{array}} \right.\)

Theo giả thiết ta có:

 \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4\\ \Leftrightarrow {x_1}^2 - 2{x_1}{x_2} + {x_2} = 16\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 16\\ \Rightarrow {\left( {2m - 2} \right)^2} - 4.\left( {m - 3} \right) = 16\\ \Rightarrow 4{m^2} - 8m + 4 - 4m + 12 = 16\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 12m = 0\\ \Leftrightarrow 4m\left( {m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m \in \left\{ {0;3} \right\}\).