Cho phương trình bậc hai x2 - (m+ 1)x +3 (m – 2) = 0 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện X¡³+ x2³ > 35 (m là tham số).

$x^2-(m+1)x+3(m-2)=0$ $(*)$

Để phương trình $(*)$ có nghiệm thì

$\Delta=(m+1)^2+4.3(m-2)=m^2+2m+1+12m-24=m^2+14m-23\ge0$

$⇔\left[\begin{matrix}m\le-7-6\sqrt{2}\\ m\ge-7+6\sqrt{2}\end{matrix}\right.$

Với $m\in\mathbb{R}$ \ $(-7-6\sqrt{2};7+6\sqrt{2})$, theo Vi-ét:

$\begin{cases} x_1+x_2=m+1\\x_1x_2=3(m-2)\end{cases}$

Theo đề ra, ta có:

$x_1^3+x_2^3>35$

$⇔(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)>35$

$⇔(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]>35$

$⇔(m+1)[(m+1)^2-9(m-2)]>35$

$⇔(m+1)(m^2+2m+1-9m+18)>35$

$⇔(m+1)(m^2-7m+19)>35$

$⇔m^3-7m^2+19m+m^2-7m+19>35$

$⇔m^3-6m^2+12m-16>0$

$⇔m^3-4m^2-2m^2+8m+4m-16>0$

$⇔m^2(m-4)-2m(m-4)+4(m-4)>0$

$⇔(m^2-2m+4)(m-4)>0$

Vì $m^2-2m+4>0$ nên $m>4$ (TMĐK)

Vậy $m>4$