Cho phương trình \({\log _7}\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) + 1 > {\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng \(\left( {1;3} \right)\)?

Giải thích thêm:

Cách khác:

Bất phương trình đã cho có nghiệm chứa khoảng \(\left( {1;\,\,3} \right)\) \( \Leftrightarrow \) bất phương trình đã cho xác định trên khoảng \(\left( {1;\,\,3} \right)\) và bất phương trình luôn đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) hoặc bất phương trình có nghiệm thỏa mãn \(\left[ \begin{array}{l}3 \le {x_1} < {x_2}\\{x_1} < {x_2} \le 1\end{array} \right.\)  với \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(6{x^2} + 8x + 9 - m = 0.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ' < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 6\\\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right) \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} < 2\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {x{  _2} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{4^2} - 6\left( {9 - m} \right) < 0\\\left\{ \begin{array}{l}{4^2} - 6\left( {9 - m} \right) \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{8}{6} > 6\,\,\,\left( {ktm} \right)\\{x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{8}{6} < 2\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}16 - 54 + 6m < 0\\\left\{ \begin{array}{l}16 - 54 + 6m \ge 0\\\dfrac{{9 - m}}{6} + \dfrac{8}{6} + 1 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < \dfrac{{19}}{3}\\\left\{ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{{19}}{3}\\9 - m + 8 + 6 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < \dfrac{{19}}{3}\\\left\{ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{{19}}{3}\\m \le 23\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < \dfrac{{19}}{3}\\\dfrac{{19}}{3} \le m \le 23\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 23\end{array}\)

Hàm số đã cho xác định trên \(\left( {1;\,\,3} \right)\)\( \Leftrightarrow \)\({x^2} + 6x + 5 + m > 0\,\,\forall x \in \left( {1;\,3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ' < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}3 \le {x_1} < {x_2}\\{x_1} < {x_2} \le 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ' < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 6\\\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right) \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} < 2\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {x{  _2} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^2} - 5 - m < 0\\\left\{ \begin{array}{l}{3^2} - 5 - m \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 6 > 6\,\,\,\left( {ktm} \right)\\{x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - 6 < 2\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}9 - 5 - m < 0\\\left\{ \begin{array}{l}9 - 5 - m \ge 0\\5 + m + 6 + 1 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 4\\\left\{ \begin{array}{l}m \le 4\\m \ge  - 12\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge  - 12\end{array}\)

Kết hợp lại ta có: \( - 12 \le m \le 23\), mà \(m \in \mathbb{Z}\).

Vậy có \(\left( {23 + 12} \right):1 + 1 = 36\) giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.