Các nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}xy - 3x - 2y = 16\\{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 33\end{array} \right.$ là

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}xy - 3x - 2y = 16\\{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 33\end{array} \right.  \left( 1 \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {xy - 2x - y + 2} \right) - x + 1 - y + 2 = 21\\\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) = 38\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {y - 2} \right) - \left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 21\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 38\end{array} \right.  \left( 2 \right)$

Đặt $u = x - 1\,$; $v = y - 2$ ta được hệ $\left\{ \begin{array}{l}uv - \left( {u + v} \right) = 21\\{u^2} + {v^2} = 38\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}uv - \left( {u + v} \right) = 21\\{\left( {u + v} \right)^2} - 2uv = 38\end{array} \right.$

Đặt $S = u + v$; $P = uv$ ta được hệ $\left\{ \begin{array}{l}P - S = 21\\{S^2} - 2P = 38\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = S + 21\\{S^2} - 2S - 80 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S =  - 8\\P = 13\end{array} \right.\,\,$ hoặc $\,\,\left\{ \begin{array}{l}S = 10\\P = 31\end{array} \right.$.

+ Khi $\left\{ \begin{array}{l}S =  - 8\\P = 13\end{array} \right.\,\,$ thì $u$; $v$ là nghiệm của phương trình: ${X^2} + 8X + 13 = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u =  - 4 + \sqrt 3 \\v =  - 4 - \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\,$ hoặc $\,\,\left\{ \begin{array}{l}u =  - 4 - \sqrt 3 \\v =  - 4 + \sqrt 3 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 =  - 4 + \sqrt 3 \\y - 2 =  - 4 - \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\,\,$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 =  - 4 - \sqrt 3 \\y - 2 =  - 4 + \sqrt 3 \end{array} \right.\,$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + \sqrt 3 \\y =  - 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\,$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 - \sqrt 3 \\y =  - 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.$.

+ Khi $\left\{ \begin{array}{l}S = 10\\P = 31\end{array} \right.$ thì $u$; $\,\,v$ là nghiệm của phương trình: ${X^2} - 10X + 31 = 0$ (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( { - 3 - \sqrt 3 ; - 2 + \sqrt 3 } \right);$ $\left( {x;y} \right) = \left( { - 3 + \sqrt 3 ; - 2 - \sqrt 3 } \right)$