Cho phương trình \({\log _3}x.{\log _5}x = {\log _3}x + {\log _5}x\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Điều kiện \(x > 0\)

Ta đặt \({\log _3}x = u;{\log _5}x = v \Rightarrow u.v = u + v\)

Khi đó \(x = {3^u} = {5^v}\) suy ra \({\log _3}{3^u} = {\log _3}{5^v} \Leftrightarrow u = v{\log _3}5\)

\( \Rightarrow uv = u + v \Leftrightarrow {v^2}{\log _3}5 = v{\log _3}5 + v\) \( \Leftrightarrow {v^2}{\log _3}5 - v\left( {{{\log }_3}5 + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow v\left( {v{{\log }_3}5 - {{\log }_3}5 - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}v = 0\\v{\log _3}5 - {\log _3}5 - 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}v = 0\\v = \dfrac{{{{\log }_3}5 + 1}}{{{{\log }_3}5}} = 1 + \dfrac{1}{{{{\log }_3}5}}\end{array} \right.\)   

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 0\\u = 1 + {\log _3}5\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {TM} \right)\\x = {3^{1 + {{\log }_3}5}} = 15\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)

Do đó phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 1,{x_2} = 15\) và tổng hai nghiệm bằng \(16\) là một số chính phương.