Cho phương trình \({11^x} + m = {\log _{11}}\left( {x - m} \right)\) với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left( { - 205;205} \right)\) để phương trình đã cho có nghiệm?

Đáp án 

Bước 1: Sử dụng hàm đặc trưng.

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{11^x} + m = {\log _{11}}\left( {x - m} \right)\\ \Leftrightarrow {11^x} + x = x - m + {\log _{11}}\left( {x - m} \right)\\ \Leftrightarrow {11^x} + x = {11^{{{\log }_{11}}\left( {x - m} \right)}} + {\log _{11}}\left( {x - m} \right)\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {11^t} + t \Rightarrow y' = {11^t}.\ln 11 + 1 > 0\,\,\,\forall t\). Khi đó hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow x = {\log _{11}}\left( {x - m} \right)\) \( \Leftrightarrow {11^x} = x - m \Leftrightarrow m = x - {11^x}\).

Bước 2: Khảo sát hàm số $g(x)=x-11^x$

Xét hàm số \(g\left( x \right) = x - {11^x}\) ta có \(g'\left( x \right) = 1 - {11^x}.\ln 11 = 0 \Rightarrow x = {\log _{11}}\dfrac{1}{{\ln 11}} = {x_0}\).

Bảng biến thiên:

Bước 3: Biện luận nghiệm theo m.

Để phương trình đã cho có nghiệm thì \(m < g\left( {{x_0}} \right) \approx  - 0,78\).

Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - 205 < m \le  - 1\\m \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\).

Vậy có 204 giá trị của nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.