Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2R.\) Từ \(A\) và \(B\) kẻ hai tiếp tuyến \(Ax,\,By.\) Trên \(Ax\) lấy điểm \(M\) rồi kẻ tiếp tuyến \(MP\) cắt \(By\) tại \(N.\)Khi đó tỉ số \(\dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}}\) trong trường hợp \(AM = \dfrac{R}{2}\) là:

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có

\(OM\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AOP}\) và \(ON\) là tia phân giác của góc \(\widehat {BOP}.\) Do đó \(\widehat {MOA} = \widehat {MOP},\,\,\widehat {PON} = \widehat {BON}\,\,\left( 1 \right).\)

Ta lại có \(\widehat {AOP},\,\widehat {BOP}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {AOP} + \,\widehat {BOP} = {180^0}\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta suy ra

$\widehat {MON} = \widehat {MOP} + \widetilde {PON} = \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {AOM} + \widehat {MOP} + \widehat {PON} + \widehat {NOB}} \right)$

$ = \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {AOP} + \widehat {POB}} \right) = \dfrac{1}{2}{.180^0} = {90^0}\,\,.$

Nên tam giác \(MON\) là tam giác vuông tại \(O\) có \(OP \bot MN\) (\(OP\) là tiếp tuyến).

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông \(MON\) ta có \(O{P^2} = PN.PM.\)

Ta lại có \(OP = R,\,AM = PM,\,BN = NP\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó \(AM.BN = {R^2}.\)

hay \(PN.PM = {R^2}\)

Mà \(PM = AM = \dfrac{R}{2} \Rightarrow PM = \dfrac{R}{2} \Rightarrow PN = 2R.\)

Do đó \(MN = PM + PN = \dfrac{R}{2} + 2R = \dfrac{{5R}}{2} \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{\dfrac{{5R}}{2}}}{{2R}} = \dfrac{5}{4}\)

Ta có có \(\widehat {APB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {APB} = {90^0}\,\,\left( 4 \right).\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến ta có

\(NB \bot ON \Rightarrow \widehat {OBN} = {90^0},\,\,NP \bot OP \Rightarrow \widehat {OPN} = {90^0} \Rightarrow \widehat {OBN} + \widehat {OPN} = {180^0}.\)

Do đó tứ giác \(OBNP\) là tứ giác nội tiếp. Từ đó \(\widehat {OBP} = \widehat {PNO}\,\,\left( 5 \right).\)

Từ \(\,\left( 4 \right)\); \(\left( 5 \right)\) và \(\widehat {MON} = 90^\circ \) suy ra hai tam giác vuông \(APB\) và \(MON\) đồng dạng với nhau.

Suy ra  \(\dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}} = {\left( {\dfrac{{MN}}{{AB}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{5}{4}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{16}}.\)