Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh $AB = 2,\,\,AD = 3;\,AA' = 4$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {AB'D'} \right)$ và $\left( {A'C'D} \right)$ là $\alpha $. Tính giá trị gần đúng của góc $\alpha $?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Hai mặt phẳng $\left( {AB'D'} \right)$ và $\left( {A'C'D} \right)$ có giao tuyến là $EF$ như hình vẽ.
Hai tam giác \(\Delta A'C'D = \Delta D'AB'\) và \(EF\) là đường trung bình của hai tam giác nên từ $A'$ và $D'$ ta kẻ 2 đoạn vuông góc lên giao tuyến $EF$ sẽ là chung một điểm $H$ như hình vẽ.
Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng $A'H$ và $D'H$.
Tam giác $DEF$ lần lượt có $D'E = \dfrac{{D'B'}}{2} = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}$, $D'F = \dfrac{{D'A}}{2} = \dfrac{5}{2}$, $EF = \dfrac{{B'A}}{2} = \sqrt 5 $.
Theo hê rông ta có: ${S_{DEF}} = \dfrac{{\sqrt {61} }}{4}$. Suy ra $D'H = \dfrac{{2{S_{DEF}}}}{{EF}} = \dfrac{{\sqrt {305} }}{{10}}$.
Tam giác $D'A'H$ có: $\cos \widehat {A'HD'} = \dfrac{{H{{A'}^2} + H{{D'}^2} - A'{{D'}^2}}}{{2HA'.HD'}} = - \dfrac{{29}}{{61}}$.
Do đó $\widehat {A'HD'} \approx 118,4^\circ $ hay $\left( {\widehat {A'H,D'H}} \right) \approx 180^\circ - 118,4^\circ = 61,6^\circ $.
Hướng dẫn giải:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng $\left( {AB'D'} \right)$ và $\left( {A'C'D} \right)$ (là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến)
- Tính số đo góc cần tìm dựa vào kiến thức hình học ở lớp dưới.
